Fair Secure Roman Dominating Function in Graphs

Abstract

Let G=(V(G),E(G)) be a graph and let ϕ:V(G)→{0,1,2} be a function on G. For each i∈{0,1,2}, let V_i={v∈V(G):ϕ(v)=i}. Then ϕ can be represented as ϕ=(V_0,V_1,V_2). A function ϕ is a fair secure Roman dominating function (FScRDF) on G provided that for every v∈V_0, there exists u∈V_2 such that d_G (u,v)=1, ϕ^*=(V_0∖{v}," " V_1∪{v,u}," " V_2∖{u}) is a Roman dominating function (RDF) on G, and for every x,y∈V_0, ∣N_G (x)∩V_2∣=∣N_G (y)∩V_2∣≥1. The weight of FScRDF ϕ on G, denoted by ω_G^FScR (ϕ), is defined as the sum ω_G^FScR (ϕ)=∑_(x∈V(G))▒〖ϕ(x)=∣〗 V_1∣+2∣V_2∣. The fair secure Roman domination number of G is defined as the minimum weight of an FScRDF ϕ on G, and is denoted by γ_FScR (G), that is, γ_FScR (G)=min⁡{ω_G^FScR (ϕ):ϕ" is an FScRDF on " G}. Every FScRDF ϕ on G that satisfies ω_G^FScR (ϕ)=γ_FScR (G) is called a γ_FScR-function on G. In this paper, the authors introduce the idea of fair secure Roman domination in graphs as a new parameter and discuss some important combinatorial results.

Abstrak
Misalkan G=(V(G),E(G)) adalah graf dan ϕ:V(G)→{0,1,2} adalah fungsi di G. Untuk setiap i∈{0,1,2}, misalkan V_i={v∈V(G):ϕ(v)=i}. Fungsi ϕ dapat disajikan dalam bentuk ϕ=(V_0,V_1,V_2). Fungsi ϕ dikatakan suatu fungsi mendominasi Roman aman cukup (fair secure Roman dominating function; FScRDF) di G apabila untuk setiap v∈V_0, terdapat u∈V_2 sehingga d_G (u,v)=1, ϕ^*=(V_0∖{v}," " V_1∪{v,u}," " V_2∖{u}) adalah suatu fungsi mendominasi Roman (Roman dominating function; RDF) di G, dan untuk setiap x,y∈V_0, ∣N_G (x)∩V_2∣=∣N_G (y)∩V_2∣≥1. Bobot dari FScRDF ϕ di G, dinotasikan dengan ω_G^FScR (ϕ), didefinisikan sebagai jumlah ω_G^FScR (ϕ)=∑_(x∈V(G))▒〖ϕ(x)=∣〗 V_1∣+2∣V_2∣. Bilangan dominasi Roman aman cukup dari G didefinisikan sebagai bobot minimum dari suatu FScRDF ϕ di G, dan dinotasikan dengan γ_FScR (G), yakni, γ_FScR (G)=min⁡{ω_G^FScR (ϕ):ϕ" adalah suatu FScRDF di " G}. Setiap FScRDF ϕ di G yang memenuhi ω_G^FScR (ϕ)=γ_FScR (G) disebut suatu fungsi-γ_FScR di G. Dalam paper ini, penulis memperkenalkan gagasan dominasi Roman aman cukup pada graf sebagai suatu parameter baru dan mendiskusikan beberapa hasil kombinatorial penting.
Kata Kunci: Dominasi cukup; Fungsi mendominasi Roman aman cukup, Bilangan dominasi Roman aman cukup, Fungsi mendominasi Roman, Dominasi aman.

2020MSC: 05C69